题目描述

宠物小精灵是一部讲述小智和他的搭档皮卡丘一起冒险的故事。

一天，小智和皮卡丘来到了小精灵狩猎场，里面有很多珍贵的野生宠物小精灵。小智也想收服其中的一些小精灵。然而，野生的小精灵并不那么容易被收服。对于每一个野生小精灵而言，小智可能需要使用很多个精灵球才能收服它，而在收服过程中，野生小精灵也会对皮卡丘造成一定的伤害（从而减少皮卡丘的体力）。当皮卡丘的体力小于等于 $0$ 时，小智就必须结束狩猎（因为他需要给皮卡丘疗伤），而使得皮卡丘体力小于等于 $0$ 的野生小精灵也不会被小智收服。当小智的精灵球用完时，狩猎也宣告结束。

我们假设小智遇到野生小精灵时有两个选择：收服它，或者离开它。如果小智选择了收服，那么一定会扔出能够收服该小精灵的精灵球，而皮卡丘也一定会受到相应的伤害；如果选择离开它，那么小智不会损失精灵球，皮卡丘也不会损失体力。

小智的目标有两个：主要目标是收服尽可能多的野生小精灵；如果可以收服的小精灵数量一样，小智希望皮卡丘受到的伤害越小（剩余体力越大），因为他们还要继续冒险。

现在已知小智的精灵球数量和皮卡丘的初始体力，已知每一个小精灵需要的用于收服的精灵球数目和它在被收服过程中会对皮卡丘造成的伤害数目。请问，小智该如何选择收服哪些小精灵以达到他的目标呢？

输入格式

输入数据的第一行包含三个整数： $N(0<N<1000)，M(0<M<500)，K(0<K<100)$ ，分别代表小智的精灵球数量、皮卡丘初始的体力值、野生小精灵的数量。

之后的 $K$ 行，每一行代表一个野生小精灵，包括两个整数：收服该小精灵需要的精灵球的数量，以及收服过程中对皮卡丘造成的伤害。

输出格式

输出为一行，包含两个整数：$C，R$，分别表示最多收服 $C$ 个小精灵，以及收服 $C$ 个小精灵时皮卡丘的剩余体力值最多为 $R$ 。

样例 1

输入 1

10 100 5
7 10
2 40
2 50
1 20
4 20

输出 1

3 30

样例 2

输入 2

10 100 5
8 110
12 10
20 10
5 200
1 110

输出 2

0 100

说明/提示

对于样例输入 $1$：小智选择：$(7,10)(2,40)(1,20)$ 这样小智一共收服了 $3$ 个小精灵，皮卡丘受到了 $70$ 点伤害，剩余 $100-70=30$ 点体力。所以输出 $330$。

对于样例输入 $2$：小智一个小精灵都没法收服，皮卡丘也不会收到任何伤害，所以输出 $0100$。

解题思路

问题本质

这是一个典型的二维费用 $01$ 背包问题，需要在精灵球数量和皮卡丘体力两个资源限制下，最大化收服小精灵的数量，同时在数量相同的情况下最小化伤害值（最大化剩余体力）。

核心策略

1. 状态定义

• dp[i][j]：使用 i 个精灵球和承受 j 点伤害时能收服的最大精灵数
• ht[i][j]：在达到 dp[i][j] 收服数时的最小总伤害值

2. 资源限制处理

• 精灵球限制：i ≤ n（$n$ 为总球数）
• 体力限制：j ≤ m-1（体力必须大于 $0$，所以最大可承受伤害为 $m-1$）

3. 动态规划过程
倒序遍历两个资源维度，确保每个小精灵只被选择一次（$01$ 背包特性）：

• 外层循环遍历每个小精灵
• 中层倒序遍历精灵球数（从 $n$ 递减到当前精灵所需球数）
• 内层倒序遍历伤害值（从最大伤害递减到当前精灵造成伤害）

状态转移考虑双重目标：

1. 优先保证收服数量最多：如果新方案能收服更多精灵，直接采用
2. 在数量相同时选择伤害最小：如果收服数相同但新方案总伤害更小，则更新伤害值

4. 最优解查找
最优解不一定是消耗全部资源的情况，需要遍历所有可能的资源消耗组合，找到：

• 收服精灵数最多的方案
• 在收服数相同时，选择伤害值最小的方案

5. 最终结果

• 收服数量：max_num
• 剩余体力：m - min_hurt（初始体力减去最小总伤害）

算法特点

• 时间复杂度：$O(k\cdot n\cdot m)$，其中 $k$ 为精灵数
• 空间复杂度：$O(n\cdot m)$
• 关键优化：倒序遍历避免重复选择，配对数组同时追踪数量和质量目标

这种方法巧妙地将双目标优化问题转化为二维费用背包问题，通过配对状态数组同时处理"数量最大化"和"伤害最小化"两个目标，确保了在满足主要目标的前提下优化次要目标。

参考代码

简洁版

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1020, M = 520, K = 120;
int n, m, k;
struct elf{
	int num, hurt;
} q[K];
int dp[N][M];	//dp[i][j]当使用了i个精灵球和j个伤害值的时候能够收服的最多精灵数 
int ht[N][M];	//当在dp[i][j]的情况下，ht[i][j]代表收到的最小伤害 

int main(){
	//freopen(".in", "r", stdin);
    //freopen(".out", "w", stdout);
    cin >> n >> m >> k;
    for(int i = 1; i <= k; i ++)	cin >> q[i].num >> q[i].hurt;
    int max_hurt = m - 1;
    for(int o = 1; o <= k; o ++)
    	for(int i = n; i >= q[o].num; i --)
    		for(int j = max_hurt; j >= q[o].hurt; j --){
    			//如果要捕捉该精灵的情况 
				int new_num = dp[i - q[o].num][j - q[o].hurt] + 1;
				int new_hurt = ht[i - q[o].num][j - q[o].hurt] + q[o].hurt;
				
				if(dp[i][j] < new_num){
					dp[i][j] = new_num;
					ht[i][j] = new_hurt;
				}
    			else if(dp[i][j] == new_num && ht[i][j] > new_hurt)
					ht[i][j] = new_hurt;
			}
	int max_num = 0, min_hurt;
	for(int i = 0; i <= n; i ++)
		for(int j = 0; j <= max_hurt; j ++)
			if(dp[i][j] > max_num){
				max_num = dp[i][j];
				min_hurt = ht[i][j];
			}
			else if(dp[i][j] == max_num && min_hurt > ht[i][j])
				min_hurt = ht[i][j];
	int C = max_num, R = m - min_hurt;
	cout << C << " " << R;
	return 0;
}

注释版

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 定义常量
const int N = 1020, M = 520, K = 120;
int n, m, k;  // n:精灵球数, m:初始体力值, k:野生小精灵数量

// 小精灵结构体
struct elf {
    int num;   // 收服需要的精灵球数量
    int hurt;  // 收服造成的伤害值
} q[K];        // 小精灵数组

// dp[i][j]: 当使用i个精灵球和j点伤害值(已承受伤害)时，能收服的最多精灵数
int dp[N][M];

// ht[i][j]: 当在dp[i][j]的情况下，收服这些精灵的总伤害值(最小伤害)
int ht[N][M];

int main() {
    // freopen(".in", "r", stdin);     // 文件输入
    // freopen(".out", "w", stdout);   // 文件输出

    cin >> n >> m >> k;  // 输入精灵球数、初始体力、精灵数量

    // 读取每个小精灵的信息
    for (int i = 1; i <= k; i++) {
        cin >> q[i].num >> q[i].hurt;  // 需要的球数，造成的伤害
    }

    // 计算最大能承受的伤害值
    // 体力值必须大于0，所以能承受的最大伤害是m-1
    int max_hurt = m - 1;

    // *************** 动态规划核心部分 ***************
    // 二维费用的01背包问题
    for (int o = 1; o <= k; o++)                           // 遍历每个小精灵
        for (int i = n; i >= q[o].num; i--)                // 倒序遍历精灵球数量
            for (int j = max_hurt; j >= q[o].hurt; j--) {  // 倒序遍历伤害值

                // 如果要捕捉当前精灵的情况：
                // 1. 从之前状态转移，加上当前精灵
                // 2. 精灵数量+1
                // 3. 伤害值累加
                int new_num = dp[i - q[o].num][j - q[o].hurt] + 1;
                int new_hurt = ht[i - q[o].num][j - q[o].hurt] + q[o].hurt;

                // 状态转移：比较捕捉和不捕捉的情况
                if (dp[i][j] < new_num) {
                    // 情况1：捕捉能收服更多精灵
                    // 这是主要目标，直接更新
                    dp[i][j] = new_num;   // 更新最大精灵数
                    ht[i][j] = new_hurt;  // 更新对应的伤害值
                } else if (dp[i][j] == new_num && ht[i][j] > new_hurt) {
                    // 情况2：精灵数相同但总伤害更小
                    // 这是次要目标：在收服数量相同时，选择伤害更小的方案
                    ht[i][j] = new_hurt;
                }
            }

    // *************** 寻找最优解 ***************
    // 最优解不一定使用了所有球或承受了最大伤害
    // 需要遍历所有可能的消耗组合
    int max_num = 0, min_hurt;

    for (int i = 0; i <= n; i++)             // 遍历所有可能的精灵球消耗
        for (int j = 0; j <= max_hurt; j++)  // 遍历所有可能的伤害值消耗
            if (dp[i][j] > max_num) {
                // 找到能收服更多精灵的方案
                max_num = dp[i][j];   // 更新最大收服数
                min_hurt = ht[i][j];  // 记录对应的最小伤害值
            } else if (dp[i][j] == max_num && min_hurt > ht[i][j]) {
                // 精灵数相同但伤害值更小
                min_hurt = ht[i][j];  // 更新为更小的伤害值
            }

    // 计算并输出结果
    int C = max_num;       // 最多能收服的小精灵数量
    int R = m - min_hurt;  // 皮卡丘的剩余体力值
    cout << C << " " << R;

    return 0;
}